Liste over Mersenne-primtall og perfekte tall -
List of Mersenne primes and perfect numbers

fra Wikipedia, den frie encyklopedi

Cuisenaire-stenger som viser de riktige divisorene på 6 (1, 2 og 3) som gir opp til 6
Visualisering av 6 som et perfekt tall
En graf som plotter år på x-aksen med antall sifre i det største kjente primtall logaritmisk på y-aksen, med to trendlinjer
Logaritmisk graf av antall sifre i det største kjente primtall etter år, som nesten alle har vært Mersenne-primtall

Mersenne primtall og perfekte tall er to dypt sammenkoblede typer naturlige tall i tallteori . Mersenne-primtall, oppkalt etter munken Marin Mersenne , er primtall som kan uttrykkes som

2 p − 1
for et positivt heltall
p
. For eksempel er
3
et Mersenne-primtall ettersom det er et primtall og kan uttrykkes som
2 2 − 1
. Tallene
p
som tilsvarer Mersenne-primtall må i seg selv være primtall, selv om ikke alle primtall
p
fører til Mersenne-primtall - for eksempel
2 11− 1 = 2047 = 23 × 89
. I mellomtiden er perfekte tall naturlige tall som er lik summen av deres positive egendelere , som er divisorer unntatt selve tallet. Så,
6
er et perfekt tall fordi de riktige divisorene til
6
er
1, 2
og
3
, og
1 + 2 + 3 = 6
.

Det er en en-til-en-korrespondanse mellom Mersenne-primtallene og de partall perfekte tallene. Dette skyldes Euclid-Euler-teoremet , delvis bevist av Euclid og fullført av Leonhard Euler : partall er perfekte hvis og bare hvis de kan uttrykkes i formen

2 p − 1 × (2 p − 1)
, hvor
2 p − 1
er en Mersenne-primtall. Med andre ord, alle tall som passer til det uttrykket er perfekte, mens alle jevne perfekte tall passer til den formen. For eksempel, i tilfellet med
p = 2
, er
2 2 − 1 = 3
primtall, og
2 2 − 1 × (2 2 − 1) = 2 × 3 = 6
er perfekt.

Det er for tiden et åpent problem om det finnes et uendelig antall Mersenne-primtall og til og med perfekte tall. Frekvensen av Mersenne-primtall er gjenstand for Lenstra–Pomerance–Wagstaff-formodningen , som sier at det forventede antallet Mersenne-primtall mindre enn noen gitte

x
er
( e γ / log 2) × log log x
, der
e
er Eulers tall ,
γ
er Eulers konstant , og
log
er den naturlige logaritmen . Det er heller ikke kjent om det finnes oddetall; forskjellige forhold for mulige oddetall er bevist, inkludert en nedre grense
10 1500
.

for Mersenne-primtall som er effektiv for binære datamaskiner.

De viste rangeringene er blant indeksene som for øyeblikket er kjent fra 2022; mens det er usannsynlig, kan rangeringer endres hvis mindre blir oppdaget. I følge GIMPS er alle muligheter mindre enn den 48. arbeidseksponenten

p = 57 885 161
kontrollert og verifisert fra og med oktober 2021. Oppdagelsesåret og oppdageren er av Mersenne-primtallet, siden det perfekte tallet umiddelbart følger av Euklid–Euler-setningen. Oppdagere betegnet som "GIMPS / navn " refererer til GIMPS-oppdagelser med maskinvare brukt av den personen. Senere oppføringer er ekstremt lange, så bare de første og siste 6 sifrene i hvert nummer vises.

Tabell over alle 51 for tiden kjente Mersenne-primtall og tilsvarende perfekte tall
Rang
s
Mersenne prime Mersenne primtall Perfekt tall Perfekte tall Oppdagelse Oppdager Metode Ref.
1 2 3 1 6 1
Antikken
Kjent for antikke greske matematikere Uinnspilt
2 3 7 1 28 2
3 5 31 2 496 3
4 7 127 3 8128 4
5 1. 3 8191 4 33550336 8
c. 1456
Anonym Prøvedeling
6 17 131071 6 8589869056 10
1588
Pietro Cataldi
7 19 524287 6 137438691328 12
8 31 2147483647 10 230584...952128 19
1772
Leonhard Euler Prøveinndeling med modulære begrensninger
9 61 230584...693951 19 265845...842176 37
november 1883
Ivan M. Pervushin Lucas-sekvenser
10 89 618970...562111 27 191561...169216 54
juni 1911
Ralph Ernest Powers
11 107 162259...288127 33 131640...728128 65
1. juni 1914
12 127 170141...105727 39 144740...152128 77
10. januar 1876
Édouard Lucas
1. 3 521 686479...057151 157 235627...646976 314
30. januar 1952
Raphael M. Robinson LLTSWAC
14 607 531137...728127 183 141053...328128 366
15 1279 104079...729087 386 541625...291328 770
25. juni 1952
16 2.203 147597...771007 664 108925...782528 1.327
7. oktober 1952
17 2.281 446087...836351 687 994970...915776 1.373
9. oktober 1952
18 3.217 259117...315071 969 335708...525056 1.937
8. september 1957
Hans Riesel LLT på BESK
19 4.253 190797...484991 1281 182017...377536 2.561
3. november 1961
Alexander Hurwitz LLT på IBM 7090
20 4.423 285542...580607 1.332 407672...534528 2.663
21 9.689 478220...754111 2.917 114347...577216 5.834
11. mai 1963
Donald B. Gillies LLT på ILLIAC II
22 9.941 346088...463551 2.993 598885...496576 5.985
16. mai 1963
23 11.213 281411...392191 3.376 395961...086336 6.751
2. juni 1963
24 19.937 431542...041471 6002 931144...942656 12.003
4. mars 1971
Bryant Tuckerman LLT på IBM 360 /91
25 21.701 448679...882751 6.533 100656...605376 13.066
30. oktober 1978
Landon Curt Noll og Laura Nickel LLT på CDC Cyber 174
26 23.209 402874...264511 6.987 811537...666816 13.973
9. februar 1979
Landon Curt Noll
27 44.497 854509...228671 13.395 365093...827456 26.790
8. april 1979
Harry L. Nelson & David Slowinski LLT på Cray-1
28 86.243 536927...438207 25.962 144145...406528 51.924
25. september 1982
David Slowinski
29 110 503 521928...515007 33.265 136204...862528 66.530
29. januar 1988
Walter Colquitt og Luke Welsh LLT på NEC SX -2
30 132.049 512740...061311 39.751 131451...550016 79.502
19. september 1983
David Slowinski et al. ( Cray ) LLT på Cray X-MP
31 216.091 746093...528447 65.050 278327...880128 130 100
1. september 1985
LLT på Cray X-MP/24
32 756.839 174135...677887 227.832 151616...731328 455.663
17. februar 1992
33 859.433 129498...142591 258.716 838488...167936 517.430
4. januar 1994
LLT på Cray C90
34 1 257 787 412245...366527 378.632 849732...704128 757.263
3. september 1996
LLT på Cray T94
35 1 398 269 814717...315711 420 921 331882...375616 841 842
13. november 1996
GIMPS / Joel Armengaud LLT / Prime95 på 90 MHz Pentium PC
36 2.976.221 623340...201151 895.932 194276...462976 1.791.864
24. august 1997
GIMPS / Gordon Spence LLT / Prime95 på 100 MHz Pentium PC
37 3 021 377 127411...694271 909.526 811686...457856 1 819 050
27. januar 1998
GIMPS / Roland Clarkson LLT / Prime95 på 200 MHz Pentium PC
38 6.972.593 437075...193791 2 098 960 955176...572736 4.197.919
1. juni 1999
GIMPS / Nayan Hajratwala LLT / Prime95 på IBM Aptiva med 350 MHz Pentium II -prosessor
39 13.466.917 924947...259071 4.053.946 427764...021056 8.107.892
14. november 2001
GIMPS / Michael Cameron LLT / Prime95 på PC med 800 MHz Athlon T-Bird- prosessor
40 20 996 011 125976...682047 6.320.430 793508...896128 12.640.858
17. november 2003
GIMPS / Michael Shafer LLT / Prime95 på Dell Dimension PC med 2 GHz Pentium 4 -prosessor
41 24.036.583 299410...969407 7.235.733 448233...950528 14.471.465
15. mai 2004
GIMPS / Josh Findley LLT / Prime95 på PC med 2,4 GHz Pentium 4-prosessor
42 25.964.951 122164...077247 7.816.230 746209...088128 15.632.458
18. februar 2005
GIMPS / Martin Nowak
43 30 402 457 315416...943871 9.152.052 497437...704256 18.304.103
15. desember 2005
GIMPS / Curtis Cooper og Steven Boone LLT / Prime95 på PC ved University of Central Missouri
44 32.582.657 124575...967871 9.808.358 775946...120256 19.616.714
4. september 2006
45 37.156.667 202254...220927 11 185 272 204534...480128 22.370.543
6. september 2008
GIMPS / Hans-Michael Elvenich LLT / Prime95 på PC
46 42.643.801 169873...314751 12.837.064 144285...253376 25.674.127
4. juni 2009
GIMPS / Odd Magnar Strindmo LLT / Prime95 på PC med 3 GHz Intel Core 2 -prosessor
47 43.112.609 316470...152511 12.978.189 500767...378816 25.956.377
23. august 2008
GIMPS / Edson Smith LLT / Prime95 på Dell OptiPlex PC med Intel Core 2 Duo E6600-prosessor
48 57.885.161 581887...285951 17.425.170 169296...130176 34.850.340
25. januar 2013
GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 på PC ved University of Central Missouri
* 59.451.331 Laveste ubekreftede milepæl
49 74.207.281 300376...436351 22.338.618 451129...315776 44.677.235
7. januar 2016
GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 på PC med Intel Core i7-4790-prosessor
50 77.232.917 467333...179071 23.249.425 109200...301056 46.498.850
26. desember 2017
GIMPS / Jonathan Pace LLT / Prime95 på PC med Intel Core i5-6600-prosessor
51 82.589.933 148894...902591 24.862.048 110847...207936 49 724 095
7. desember 2018
GIMPS / Patrick Laroche LLT / Prime95 på PC med Intel Core i5-4590T-prosessor
* 107.148.487 Laveste uprøvde milepæl

Notater

Referanser