Tetrahedral nummer -
Tetrahedral number

fra Wikipedia, den frie encyklopedi
En pyramide med sidelengde 5 inneholder 35 kuler. Hvert lag representerer et av de fem første trekantede tallene.
, det vil si

Tetraedriske tall er:

1 , 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120 , 165 , 220 , ... (sekvens i OEIS )

Formel

Avledning av Tetrahedral nummer fra en venstre-rettferdiggjort Pascals trekant
av 3:

Tetraedriske tall kan også representeres som binomiske koeffisienter :

Tetrahedrale tall kan derfor finnes i fjerde posisjon enten fra venstre eller høyre i Pascals trekant .

Bevis for formel

th trekantede tallet er gitt av

Det fortsetter ved induksjon .

Grunnveske
Induktivt trinn

Formelen kan også bevises med Gospers algoritme .

Geometrisk tolkning

Tetrahedrale tall kan modelleres ved å stable kuler. For eksempel kan det femte tetraedriske tallet (

Te 5 = 35
) modelleres med 35 biljardkuler og standard trekantet biljardballramme som holder 15 baller på plass. Deretter stables ytterligere 10 kuler på toppen av dem, deretter ytterligere 6, deretter ytterligere tre og en ball på toppen fullfører tetraederet.

.

Tetrahedrale røtter og tester for tetraedriske tall

:

th tetraedriske tallet.

Egenskaper

  • Te n + Te n −1 = 1 2 + 2 2 + 3 2 ... + n 2
    , de firkantede pyramidetallene .
  • AJ Meyl beviste i 1878 at bare tre tetraedrale tall også er perfekte firkanter , nemlig:
    Te 1 = 1 2 = 1
    Te 2 = 2 2 = 4
    Te 48 = 140 2 = 19600
    .
  • Sir Frederick Pollock antok at hvert tall er summen av maksimalt 5 tetraedriske tall: se Pollock tetrahedrale tall formodning .
  • Det eneste tetraedriske tallet som også er et firkantet pyramidalt tall er 1 (Beukers, 1988), og det eneste tetraedriske tallet som også er en perfekt kube er 1.
  • 3
    /
    2
    , som kan avledes ved hjelp av teleskopiske serier :
  • Den paritets av tetraeder tall følger det gjentatte mønsteret odde-selv-selv-even.
  • En observasjon av tetraedriske tall:
    Te 5 = Te 4 + Te 3 + Te 2 + Te 1
  • Tall som er både trekantede og tetraedriske må tilfredsstille binomialkoeffisientligningen :
De eneste tallene som er både tetraedriske og trekantede tall er (sekvens i OEIS ):
Te 1 = T 1 = 1
Te 3 = T 4 = 10
Te 8 = T 15 = 120
Te 20 = T 55 = 1540
Te 34 = T 119 = 7140

Antall gaver av hver type og antall mottatt hver dag og deres forhold til figurerte tall

Te 12 = 364
er det totale antallet gaver "min sanne kjærlighet sendt til meg" i løpet av alle de 12 versene av julesangen, " De tolv juledagene ". Det samlede antallet gaver etter hvert vers er også
Te n
for vers n .

er antall hus.

Se også

Referanser